第47回　ｚ変換 | 粉体・粒体・液体のレベル計測なら関西オートメイション株式会社にお任せください

連続的挙動を記述する方程式にはラプラス変換ℒが使用される。
連続関数y(t)の微分のラプラス変換は次式で与えられる。

ここではy₀はy₀＝y(0)である、sは微分演算のラプラス変換である。
例えば

の方程式の解y(t)のラプラス変換Y(s)は、上式の両辺をラプラス変換して

となり、これより

と求まる。離散値的挙動を記述する方程式はラプラス変換の代わり
z変換ℒが使用される。y(k)を離散値時間関数としy(k+1)をz変換すると

ここで、y₀はy₀＝y(0)であり、zはシフト演算のz変換である。
ラプラス変換におけるsとz変換におけるzとは

なる関係がある。ここでτは離散値関数の等サンプル間隔である。
さらにラプラス変換Y(s)、z変換のY(z)のフーリエ変換関数は、
それぞれs＝iω(i=√-1)、z＝^eiωτとすることで直接求めることができる。
差分方程式

y(k+1)＝ay(k),y(0)＝y₀

の解は次のようになる。

y(k)＝aky0

一方、上の差分方程式のz変換は次のようになる。

zY(z)-zy₀＝aY(z)

これよりy(k)のz変換Yz)は

したがって、上差分方程式の解y(k)＝a^ky₀のz変換は

となるし、

のz変換y(k)はy(k)＝a^ky₀となる。
このことより次の変換関係を持つ。