パイプライン中を音響が無減衰で伝播するものとする。音響伝播の数学
モデルは次の波動方程式で記述される。
ここで，ｘ：距離，ｔ：時間，ｕ：音の体積速度，u0：入力端における音の
体積速度ωuの”：入力端のコンプレッサにより生じるランダム体積速度，
C0：音速，p：音圧，pO：入力端における音圧，ωp：コンプレッサにより
生じるランダム音圧、ρ：空気密度，A(ｘ）：距離ｘにおけるパイプの
断面積。
パイプの各単管（仮想的に切った単管)の断面積が図6．8に示すように
行列{A(ｋ)｝で与えられる場合、区間0＜ξ＜2において式(6.9）に時間的
ラプラス変換を施すと次のようになる。
ここで、uk(s)，ρk(s）はu(x，t)、ρ(x，t）のx＝kl（図6．8参照）における
ラプラス変換である。F(ξ/C0,Ak）はx＝klからx＝kl＋ξまでの伝達行列で
あり次式で与えられる。
ξ=l/2を式（6．10）に代入すると式（6．10）は［pk(s)uk(s)]tから
[pk+l/2(s)uk+l/2(s)]t(s)]Tへの空間的信号（音圧，体積速度）の伝達特性を
示している。
式（6．10）と同様に[pk+l/2(s)uk+l/2(s)]t(s)]Tから［pk+1(s)uk+1(s)]tの
伝達特性はF(ls/2C0 ,Ak+1）であり、したがって［pk(s)uk(s)]tから
［pk+1(s)uk+1(s)]tの伝達特性は、
で与えられる。いま（音圧，体積速度）を〔前進波（体積速度）fk(s)，後進波
(体積速度）bk(s)〕に変換する。この変換行列は
であり，〔ρk(s）uk(s)〕と〔fk(s）bk(s)〕は次式のよう関係づけられる。
式（6.14）を式（6.12）に代入して整理すると
となり，上式に式（6．11)，式（6．13）を代入してまとめると
式（6．16）よりγkは前進と後進波の音響反射係数であることがわかる。上式より
もしも反射係数γkとAOがわかればパイプラインの断面積Akを求めることができる。
反射係数γkはパイプラインの一端から検出される音響信号にDurbin法（Durbin，
1960）を適用して求まるPARCOR係数に相当する（磯道，1974)。
次にリークのあるパイプラインの音響特性を考える。いま音響放射インピーダンス
Zのリークがｋと（ｋ＋1）単管の間にあるとすると［ｆk(s）bk(s)]tと
［ｆk+1(s）bk+1(s)]t)]Tに次の関係が成り立つ。
ここで、Fl(Z）はリークの音響特性で次のような伝達行列で与えられる。
式（6．18）に式（6．11)（6．13）および式（6. 19）を代入して整理すると次式
のようになる。
上式より
を得ることができる。ここで
である。式(6.21)，（6.21)’は正常なパイプラインの式（6.16)，（6.16)′
に対応し、式（6.22）のγkは前進波の反射係数、式(6.22)′のγkbは後進波
の反射係数である。式（6.22)，（6.22)′を式（6.17）と比較してみると、
単管ｋ、ｋ＋1の中間点または接点にリークがある場合、断面積Ak+1の
単管とリークの代わり，リークのない断面積Ak+1+ρCO/Zの単管に入れ
換えたのと、音響的には等価な特性を持つことがわかる。
進行波に注目すると図6．9に示すようにρCo/Zだけ断面積が増加すると
考えられる。
