第13回　故障時間の確率分布関数およびその母数の推定 | 粉体・粒体・液体のレベル計測なら関西オートメイション株式会社にお任せください

故障時間の確率分布関数の推定法を考える。推定は次の手順により行われる。

【手順１】
与えられる故障データより、例３．２に示した方法で、経過時間に対する信頼度
R(ｔ_k)、不信頼度F(ｔ_k)，故障時間の密度ｆ(ｔ_k)、故障率λ(ｔ_k）を求め、図３．２に
示すようなグラフを作る。

【手順２】
図３．３の正規分布、図３．４の指数分布、図３．５のワイブル分布、図３．６の
ガンマ分布、その他の確率分布関数を利用した密度関数あるいは、故障率
の曲線の形と、手順１で求まった故障時間の密度f(ｔ_k）あるいは故障率λ(ｔ_k）
のグラフを比較して、似ている確率分布関数を選択する。

【手順３】
手順２で選ばれた確率分布関数の母数を手順１で求まったｆ(ｔ_k)あるいは
λ(ｔ_k）に合う（フィットする）ように推定する。

正規分布関数が選ばれた場合の母数の推定

故障するまでの時間間隔のデータが、ｔ₁,ｔ₂,･････,ｔ_nで与えられ、データ数
がそれほど多くない場合には、次のような計算で推定することができる。

いずれの場合でも、データ個数をｎ、図３．７に示すように危険率をαと
すると、これらの区間推定は

で与えられる。ここでｔ_αは、g(ｘ)をｔ-分布の確率密度関数とすると

を満たす値でｔ-分布表から求めることができる。例えばα＝1％では、
ｔ_α＝２.５７６、α＝5％では、ｔ_α＝１.９６、α＝10％では、ｔ_α＝１.６４である。
x²(α/2，n－1）は自由度(n－1）のx²分布であり、x²分布表から求める
ことができる。

指数分布関数が選ばれた場合の母数の推定

あるいは，R(t)＝e^-λtより、両辺のｌｎをとると次式のようになる。

この関数を利用し、図３･８のように横軸に故障時刻ｔ_k,縦軸に
－ｌｎR(ｔ_k)をプロットして、この傾きからあるいは平均寿命
が推定できる。
さらに、ｔ＝０からN個の部品の故障時刻をｔ＝ｔ_fに至るまで調べた
ところ、部品は，ｔ₁,ｔ₂,･････,ｔ_n<t_fの時刻でn個故障したような場合

のようにも推定することができる。

ワイブル分布関数が選ばれた場合の母数の推定

ワイブル分布関数を利用した場合の信頼性関数は式(３.４３）より

で与えられた。これより

となり、両辺でｌｎｌｎをとると、次式を得る。

この関係式を利用して、y_k、x_k、bを次のように定義する。

上式より式(３.６３）はy_k＝mx_k十bと図３．９に示すようにｘ一y
直交座標上の直線の式となる。ｘ一y座標上に(x_k,y_k）をプロットし、
図的方法あるいは最小２乗法によって、この直線の傾きより
ｍの推定値が求まる。またy切辺よりを求め

より母数ｔ₀の推定が求まる。ガンマ分布、その他の分布関数が
選ばれた場合は省略する。