複合システムのアベイラビリティ、信頼度を解析、評価するためのモデルは
システムの各要素の故障率、修復率、システム機能を実現するための要素の
組み合わせ方の情報から作られる。このモデルは式（４．１２)、(４．１３）と
同様に線形連立常微分方程式で記述され次式のように与えられる。
ここで、p(ｔ）は(ｎ＋１）次元変数ベクトル、p0は（ｎ＋１）次元定数ベクトルで、
式（４.２５）の初期値、Aは（ｎ＋１)×(ｎ＋１）次元の行列、一般にこの要素は
時間ｔの関数であるが、ここでは定係数行列とする。cは１×(ｎ＋１）次元の
定係数行列、R(ｔ）はスカラ変数でp(ｔ）の線形結合で与られる。
式（４.２５)、(４.２６）は制御理論において、複雑なシステムを表現する場合に
使われシステムの状態方程式（state variable equation）と呼ばれている。
またP(ｔ）は状態変数（state variable）と呼ばれる。ここではp(ｔ）は信頼性
に関する確率であり、その意味で式（４.２５)、(４.２６)を確率状態方程式、
p(ｔ）を確率状態(変数)ベクトルと呼ぶことにする。式（４.２５）が信頼性に
関する確率を状態として持つ方程式であることより、p(t)、Aは特殊な性質
を持っている。ベクトルp(ｔ)、スカラR(ｔ）は次のように定義される。
ここで、p0(ｔ）：システムが無故障の状態にある確率、pn(ｔ）：バックアップ等
すべてを使用した上でシステムが故障している確率、ｐ1(ｔ)～ｐn-1(ｔ）：シス
テムの構成によって定義される確率、例えば並列冗長システムの場合、冗長
部によりシステムが正常である確率。
p(ｔ）の要素である確率をすべて加え合わせたものは常に１となり次式が成
り立つ。
さらに時刻ｔ＝０において、システムは無故障であったと仮定して
とする。
R(ｔ）はシステムのアベイラビリティ（保全ありの場合)、あるいは信頼度
（保全なしの場合）を表す。行列Aは次のように与えられる。
Aの要素はシステムの各要素の故障率、修復率、これらの線形結合で
与えられシステムの構成によって決まる。
対角要素ａjj、ｊ＝１,２,…,(ｎ＋1）は
なる性質を持っている。このことより｜Ａ｜＝０（｜ ｜は行列式）である。
ｃの要素は１あるいは０の値を持つ。
確率状態方程式（４.２５)、(４.２６）の解は次式で与えられる。
（Ｉは対角要素のみ１で他はすべて０の行列で単位行列）
これより、システムの瞬時アベイラビリティあるいは信頼度の過渡現象は
で与えられる。
定常状態〔ｐi(ｔ）が時間ｔとともに変化しない状態、t→∞で定常状態になる〕
では式（４.２５）の微分項は
となるので、式（４.２５）は次の連立代数方程式で与えられる。
この方程式を解くに当たり、この方程式だけでは解は唯一（ユニーク）に定
まらないので、もう一つの条件式（４.２８）を導入する。
定常状態における確率状態ベクトルp(∞）は、式（４.４０)、(４.４１）を連立し
た代数方程式の解として与えられる。すなわち
として
の解である。ここでこの連立代数方程式は（ｎ＋２）個の方程式にして（ｎ＋１）
個の未知数しかないが、行列Aの式（４.３１）で与えられる性質から厳密な解が
求まる、解は次式で与えられる。
あるいはもっと簡単に、A行列の任意の１行を［１１……１］ベクトルに置き換え、
次の方程式数（ｎ＋１)、未知数（ｎ＋１）の連立代数方程式
を解いても求めることができる。
