システムの故障特性を故障率λ(ｔ）で表す。故障が起こったら、それを修復
するわけであるが、その修復特性(能力)を修復率μ(ｔ）で表す。この場合の
システムの信頼性の確率（アベイラビリティ）を求めてみる。
まず幾つかの変量を定義しておく。
いま故障は保全に独立して発生するものとすれば、微少時間⊿ｔにおける
P０の確率P０(ｔ＋⊿ｔ）は次のように与えられる。
この式の右辺第１項は次のことを意味する。⊿ｔの間に起こる故障の確率は
λ⊿ｔ（故障率λの定義より）であり正常である確率P０(ｔ）は、⊿ｔ後にP０λ⊿ｔ
だけ減りP０(１－λ⊿ｔ）となる。第２項は修復によりP１(１－λ⊿ｔ）だけ正常の
確率が増えたことを意味している。時刻ｔ+⊿ｔにおいて故障状態にある確率
も全く式（４．１０）同様にして次のように求めることができる。
式（４．１０)、(４．１１）の両式の両辺を⊿ｔで割り、⊿ｔ→０とすると上の２式は
なる連立常微分方程式で記述される。初期値はｔ＝０で故障がないものとして、
上式のように与えられる。いまλ、μを定数とする。式（４．１２)、(４．１３）を
ブロック線図で表現すると図４．１のようになる。この図で「正常から故障していく
ダイナミックス」部分は、故障状態から修復されてきた正常の確率μP１(ｔ）から
正常から故障に陥っていく故障の確率λP０(ｔ）を差し引き、これを積分すると
正常状態に保たれる確率になることを示している。式（４．１２)、(４．１３）の解は
次のように求まる。
ここで、Ｐ０(ｔ）は時刻ｔにおけるアベイラビリティで瞬時アベイラビリティ
(instantaneous availability）と呼ばれる。保全がない（μ＝０）場合、Ｐ０(ｔ）
は信頼度と呼ばれた。保全がある（μ≠０）場合の瞬時アベイラビリティＰ０(ｔ）
と保全がない（μ＝０）場合の信頼度を図に示すと図４.２のようになる。
これらの図より保全のない（μ＝０）場合
保全がある（μ≠０）場合
となる。システムを使用し始め十分時間が経過すると、保全なしでは寿命がきて
システムは全く使用不能になるのに対し、保全がある場合、アベイラビリティ
μ/（λ+μ）で使用され続ける。P０（アベイラビリティ、信頼度）の低下の速度も
保全がある場合の方が遅い。
保全がある場合のP０(∞）は定常アベイラビリティ（stationary availability）と
呼ばれている。定常アベイラビリティは
と書け、平均故障率（MTBF）と平均修復時間（MTTR）を用いると
で表され、この式を変形すると次のようになる。
ここで，ρは保全係数（maintenance coefficient)と呼ばれ、この係数は
重要な問題を提起している。すなわちシステム運用上許容される最下限
のアベイラビリティが指定された場合、これを実現するためにシステム固有
の信頼性(MTBF）とシステムの保全（MTTR）をどのように分担するかで
ある。式(４．２０）でAが指定されると最右辺のρは一定値となり、MTBFが
短ければ，MTTRも短くしなければならず、その逆も成り立つ。MTBFを
長くしようとすれば、信頼性の高い部品を使用することになり、システムの
初期コストが高くなる。信頼性に対する部品のコストは、部品の種類に
よっても異なるが、信頼性の２乗、３乗あるいは指数関数的に増加する。
MTTRを短くしようとすると保全の体制を強化しなければならず、その費用
がかかる。すなわち、保全要員の増員、故障発見と修復時間短縮のための
訓練。異状検知・診断装置の導入を行わなければならず、人件費を含む
メンテナンスコストが増える。したがって、信頼性を高めること（MTBFを
長くすること）と保全性を良くすること（MTTRを短くすること）の間にコスト
的に最適な分担（トレードオフ）がある。
