第39回　非線形システムの線形化 | 粉体・粒体・液体のレベル計測なら関西オートメイション株式会社にお任せください

式(2.29b)で記述される非線形システムに一定の制御入力u0を加え、十分時間を
経過させたところ、状態x(t)は一定値ベクトルx0になった。
この状態でシステムを動作させておく。この時の入力、状態(u0，x0)はシステムの
定常動作点とよばれる。定常動作点での(u0，x0)は当然、状態方程式を満たし、

である。今、この定常動作点近傍において、この非線形系は、線形的挙動をする
ものとし、この定常動作点近傍での近似線形状態方程式を求める。
今、(u0，x0)の近傍におけるu(t)， x(t)を、

とする。式(2.29b)のシステムの式f(x,u)をx=x0，u= u0のまわりでテイラー(Tay]or)級数
に展開すると、

となる。ここではδx,δuについての高次の項である。はδx,δuについて
の高次の項である。このシステムはx0，u0の近傍では線形挙動をするので、δx,δu
の小さい範囲ではとみなせる。を無視すると、

となる。であることより、上式は次のようになる。

ここで、

とすると、式(2.30d)は、次のようにδx，δuに関して、線形の状態方程式になる。

この方程式は、式(2.29b)で表されるx=x0，u=u0の近傍における線形挙動を表す
線形化された状態方程式である。

上式の二階スカラー方程式は、次のような非線形状態方程式で表現される。

θ=0の近傍で線形化する。

であることより、この線形化された状態方程式は次のようになる。