ラプラス変換表の1、2の微分関数のラプラス変換を用いると、例題の式は
次のようになります。
となり、ラプラス変換表の変換20に上式を対応させると、ωn=2、ζ=0.5(ζ<1)となる。
よって、この方程式の解は次のように求まります。
例題2.2と同様に式(2.1)の一般的な微分方程式においても、その解をラプラス変換法
によって求めることができます。
ここでは、簡単のためにu(t)をインパルス関数とし、すべての初期値をOとした方程式
を解きます。
式(2.1)のラプラス変換は、次のようになります。
このような一般的な関数のラプラス逆変換表を用意することはできません。
この逆変換を求める前に、式(2.4a)の有理多項式で与えられるラプラス変換式について、
いくつかの用語を定義しておきます。
この有理多項式関数において、分母のsに関する多項式は特性多項式、この多項式=0
とする方程式、
は特性方程式と呼ばれ、この特性方程式の根、すなわち式(2.4b)を因数分解して、
とした時の値λ1、λ2、･･･、λnは特性根と呼ばれています。
式(2.4a)の逆変換は、特性方程式を因数分解し(特性根を求め)、この根を もつ項ごとに
部分分数に分解して、ラプラス逆変換を施します。
特性根がわかっ た後の部分分数は、特性根に重根を含む場合と含まない場合で異なり、
次のような手順で求められます。
①重根を含まない場合
ここでCiは、へヴィサイド(Heaviside)の展開定理より次のように求まります。
この部分分数に分解されたラプラス変換関数に、たとえばラプラス変換表の変換7を
利用すれば簡単に逆変換ができます。
②重根を含む場合
とすると、この式は次のように部分分数に分解できます。
ここで、係数Di( i = 1，2，…，r )は、
と求まりCr+1， ･･･，Cnは式(2.4e)から求められます。
次に式(2.2)の1階の連立常微分方程式でシステムが与えられた場合、この方程式を
ラプラス変換によって解く方法について考えます。
式(2.2d、e) をラプラス変換すると次のようになります。
式(2.5a)より、X(s)を求めると次のよう求まります。
ここでΔ(s)は、行列(sIn-A)の行列式、
であり、式(2.2)の常微分方程式の特性多項式です。またBi(s)(i=1，2，･･･，n)は、
初期値xoと入力U(s)から定まる関数です。
式(2.5c)の各要素のラプラス逆変換は、各要素のsの有理多項式に対し、式(2.4a)の
逆変換の場合と同じ方法を適用することができます。
例題の式をラプラス変換します。非同次項関数u(t)は単位ステップ関数であること
より、ラプラス変換表の変換23より、L[u(t)]=1/sとなります。よって、
上式より、X(s)を求めると次のようになります。
上のベクトルの各要素にへヴィサイドの展開定理を適用すると上式は、
となります。よって、上のラプラス逆変換は次のようになります。
これは、与常微分方程式の解です。
