式(2.1)あるいは式(2.2a、b )において、ある入力u(t)あるいは、u1(t)･････um(t)が
与えられ、この微分方程式を解くと、その入力に対する出力応答Y(t)あるいは、
Y1(t)･････Yl (t)(x1(t)･････Xn(t)) が求められる。
微分方程式の解法は種々あるが、制御工学ではラプラス変換法がしばしば用いられる。
ラプラス変換は次のように定義される。区間(0、∞)で定義された関数X(t)に対して、
が存在するとき，複素変数Sに関する関数X(s)をx(t)のラプラス変換と呼び、
次のように表す。
また、この逆変換は次のように与えられ、次の記号で表される。
このラプラス変換は、次のような性質をもっています。
① ラプラス変換は、t領域とs領域で定義されている関数聞の線形変換
(Iinear transformation)です。
すなわち，X1(s)とX2(s)がそれぞれx1(t)とx2(t)のラプラス変換であるとすれば、
a1X1(s)+ a2x2 (s)はa1x1(t)+a2x2(t)のラプラス変換です。
ここで、a1とa2は任意定数です。
② ラプラス逆変換は、s領域とt領域で定義されている関数間の線形変換です。
すなわち、x1(t)とx2(t)が、それぞれX1(s)とX2(s)のラプラス逆変換とすれば、
b1x1(t) + b2x2(t)はb1X1(s)+b2X2 (s)のラプラス逆変換です。
ここで，b1とb2は任意定数です。
③ ラプラス変換がX(s)で与えられる時間関数x(t)の導関数dx(t)/dtのラプラス変換は、
次式で与えられます。
ここで、x(0+)は正の値のtがt→0となるときのx(t)の初期値です。
④ ラプラス変換が、X(s)で与えられる時間関数x(t)の0からtの積分のラプラス変換は、
次式で与えられます。
⑤ ラプラス変換が、x(s)で与えられる時間関数x(t)の初期値x(0+)は次の式で与えられ、
この関係は初期値定理(initialvalue theorem)と呼ばれます。
⑥ ラプラス変換が、x(s)で与えられる時間関数x(t)の最終値x(∞)は、
で与えられ、この関係は最終値定理(finalvalue theorem)と呼ばれます。
⑦ 関数x(t/α)のラプラス変換(時間スケーリング)は、次のとおりです。
⑧ 関数X(s/，α)のラプラス逆変換(周波数スケーリング)は、次のとおりです。
⑨ 関数x(t-L)(Lはむだ時間)(ここでL>0、t≦Lに対しx(t-L)=0)のラプラス変換は、
次式となります。
⑩ 関数e-a’x(t)のラプラス変換(平行移動)は、次のとおりです。
⑪ 二つの時間関数x1(t)とx2(t)の積のラプラス変換は、次のような複素たたみ込み
積分で与えられます。
⑫ ラプラス変換X1(s)とX2(S)の積のラプラス逆変換は、次のたたみ込み積分で
与えられます。
