上式において、式（8・16）より非線形要素、
路パラメータを含む項g(x、u、p、t)は落ち、式（8・15）、
（8・17）を利用すると
さらに、式（8・5）に式（8・4）のy（t）＝Cx（t）+u（t）、
式（8・17）を代入すると
を得る。（1）に場合（u（t）＝0、w（t）＝0）、式（8・19）、
式（8・20）は次のように書ける。
条件（8・13）よりFは安定行列である。したがって
式（8・21）の解e（t）はt→∞とともにe（t）→0。
よって同式の
（t）はt→∞とともに、（t）→x（t）となる。
すなわち、システムノイズ、観測ノイズが無い場合、式（8・5）で
与えられるフィルタの は漸近的に式（8・4）のシステムの正しい
状態x（t）に収束する。よってフィルタ式（8・5）は
システム式（8・4）の観測器である。
次に（2）の証明を行い。式（8・19）において、Fは安定行列、
Kv（t）－Mw（t）は平均0のノイズである。したがって時間が十分経過し、
e（0）＝e0による過渡現象がおさまった後、e（t）はやはり平均0の
ノイズになる。式（8・20）においてHv（t）は平均値0のノイズ、
Hu（t）は平均値0のノイズ、Ge（t）も平均0のノイズであることにより
（t）=x（t）+（平均0のノイズ）となり、（t）はバイアス誤差を含まない。
したがって観測器式（8・5）による推定値（t）は、平均0のシステムノイズw（t）、
平均0の観測ノイズu（t）を含むシステムであってもバイアス誤差を
含まない推定値である。
