これまでは部品が熱、その他のストレスによって劣化する現象を表す物理・化学的
モデルについて考えた．ここでは現場で得られた部品の故障時間（ランダムデータ）
から、その部品の故障率、平均寿命などを推定する方法を考える。
データは同一部品について同一ストレスのもとで採取され表３．１に示すように整理
されているものとする。
残存数（survival）ｎ(ｔ）：時刻ｔ＝０で正常な部品数をｎ０とする。時間の推移とともに
部品が故障し、時刻ｔおいて正常な状態で残った部品数。
残存率（survivalrate）R(ｔ）：時刻ｔ＝０における正常部品数に対する時刻ｔまで
正常な状態で残った部品の個数の比率で、次のように表される。
これは時刻ｔにおける部品の信頼度（reliability）関数あるいは残存確率(probability
of survival）とも呼ばれる。表３．１のデータから次のように推定される。
信頼度関数R(ｔ)は次の性質を持つ。
（1）R(ｔ)は時間ｔの非増加関数（故障した部品は正常にもどらない）
（2）R(０)＝１(ｔ＝０で故障部品なし）
（3）R(∞)＝０(いつかすべての部品は故障する）
不信頼度（unreliability）F(ｔ）：時刻ｔ＝０における正常部品数に対する時刻ｔ
までに故障した部品の個数の比率で、次式で与えられる。
これは故障確率（probability of failure）とも呼ばれる。表３．１のデータから
次のように推定される。
式(３.３）よりF(ｔ）とR(ｔ）の間には次の関係がある。
故障時間の密度関数（density function of failure time）f(ｔ）：単位時間
当たり部品が故障していく割合で、次式で与えられる。
ここで，
はデータ採取間隔⊿ｔ＝(ｔ＋⊿ｔ)－ｔを極限まで小さくしたという
ことである。データが表３．１のように与えられた場合、次式
により故障時間の密度が推定できる。式(３.６）より、故障時間の密度関数ｆ（ｔ）
と不信頼度関数F(ｔ）の間には次のような関係がある。
さらに式(3.3)を用いると、ｆ（ｔ）とF(ｔ)、R(ｔ)の間に次の関係が成立する。
表３．１のデータを用いると、式(３.９）の関係式は次のように与えられる。
故障率(failure rate）λ(ｔ）：時刻ｔまで残存した正常な部品数に対して引き続く
単位時間に故障する部品数の割合を表す量で瞬時故障率(hazard rate）とも
呼ばれ、次のように定義される。
表３．１のデータから故障率は次のように推定される。
式(３.１１)はR(０)＝１であったことより、次の微分方程式で表され
この解は次式のようになり、故障率λ(ｔ）と信頼度関数R(ｔ)の関係を与える。
式(２.１１）の右辺の項を
と表すと，式(３.１１)は次のように書き換えることができる。
いま式(２．２)において定義された部品の劣化量ｘを
とすると、式(３．１６）は式(２.２）と同じ形式の方程式であることがわかる。信頼度
はR(０)＝１が最大値で、R(ｔ)は時間ｔとともに非増加、R(∞)＝０であったので、
ｘ＝－１nR(ｔ）はｔ＝０でｘ＝０、ｔが増加するとともにｘも増加する。
したがって－１nR(ｔ)は劣化量として使える。いま故障率λ(ｔ)＝λ(一定）とすると、
式(２．１)でφ(ｘ)＝ｘとした方程式と式(３．１６)は全く同じ形であり、両式より、
を得ることができる。この関係式は統計的に定義された故障率と物理化学的に
与えられた劣化速度と等しいことを示している。いま寿命の状態にある部品の
信頼度をRspで表すと、式(２．１）と式(３．１６）の解より寿命Lは，次のように
与えられる。
Rsp＝１/ｅ＝３６.８％（ｅ＝２.７１８）とすると寿命Lは１/λで与えられ、これは
MTBF(平均故障間隔）でもある．
平均寿命(mean life)L：反応論モデルを利用すると式(２.６)で定義された
とおりである．反応論モデルで定義された寿命と、故障率、λ（ｔ）＝λ(一定）と
して故障率から求まる寿命の関係は上述のとおりである。一般に故障時間の
密度関数を用いると次式のように定義される。
あるいは平均寿命LはMTTR(mean time to failure）とも呼ばれる。
表３．１のデータから平均寿命は次のように推定される。
信頼度関数R（ｔ）、不信頼度関数F(ｔ)、故障時間の密度関数f(ｔ)、故障率λ(ｔ)、
平均寿命Lの関係をまとめて図３．１に示す。このような故障に関する統計量を
利用して部品の故障確率、寿命、寿命予測が行える。以上部品の故障の基本量
について述べた。これらの基本量は，部品のみならずシステム全体の故障を評価
する量としても使用できる。
